עמוד הבית
על האתר
המחברת מפת האתר מה חדש? כיתבו לי


.

ספרו של אוקלידס מאלכסנדריה -"היסודות" - היה עמוד התווך של הגיאומטריה במשך אלפיים שנה. לאחר התנ"ך, "היסודות" הועתק, תורגם, הודפס, פורסם ונלמד יותר מכל ספר אחר בחברה המערבית. על אוקלידס עצמו לא נותרו פרטים רבים.

הישרדות "היסודות" היא מלאכת מחשבת מופלאה של שימור הידע.

אוקלידס, המכונה "אבי הגיאומטריה" היה מתמטיקאי יווני שחי ולימד באלכסנדריה שבמצרים. ב-13 הכרכים של ה"היסודות" הוא אסף, אירגן ותיעד את הידע הגיאומטרי; שהיה קיים בזמנו. הספרים מכילים את הנחות היסוד, ההגדרות, חמשת האכסיומות של גיאומטרית המישור שענינן צורות, יחסים, דמיון וחתכים, פרקים על תורת המספרים והמספרים האי-רציונלים וספר המסכם את הידע הקיים על הגיאומריה של המרחב.

יותר ממאה שנים לפני חיבור היסודות של אוקלידס, Hippocrates of Chios מהנדס יווני כתב ספר משלו על יסודות הגיאומטריה. כתביו של היפוקרטס אבדו אך זכרם נשמר והם היו הבסיס לכרכים הראשונים של מאגר המידע של אוקלידס. היפוקרטס הראשון שהעניק פתרונות; גיאומטריים למשוואות ריבועיות. הוא עסק כמו רבים שבאו אחריו בניסיונות "לרבע את המעגל" התחביב המרושע של הגיאומטריה. הוא כמובן לא הצליח לעשות זאת - רק בשנת 1882 הוכח סופית כי הבעיה אינה פתירה -אך בתכסיסיו לקראת הפתרון עלה בידו לרבע ולחשב את השטחים של צורות מעגליות אחדות.

מאה שנים לפני הולדתו של אוקלידס, Theaetetus מאתונה, אסטרונום, פילוסוף ומתמטיקאי מחונן הרים תרומות חשובות למדע ועבודתו הייתה אובדת ללא זכר אילמלא תועדה בכרכים של "היסודות". תיאתטוס - תלמידו של אפלטון - חקר ויצר את הגיאומטריה של הצורות התלת-ממדיות שקיבלו את השם Platonic solids חמש - ורק חמש - הצורות התלת-ממדיות נידונות בספר XIII ואילו עבודתו בדבר כמויות רציונליות ואי-רציונליות מוצגת בספר ה-X של "היסודות".

המדען החשוב ביותר שעבודתו נשמרה הודות ל"יסודות" של אוקלידס הוא Eudoxus of Cnidus. אדוקסוס - מתמטיקאי, פיזיקאי ואסטרונום יווני - תלמידו של אפלטון, היה גדול המדענים עד ארכימדס. עבודתו של אדוקסוס הניחה את יסודות האלגברה העתידית, הוא יצר שיטה לחישוב שטח המעגל והנפח של חרוטים ופירמידות. התיאוריה של הפרופורציות של אדוקסוס מופיעה בספר ה-V של היסודות בשם "האכסיומה של אדוקסוס".

אוקלידס לא רק שחזר את עבודותיהם של תלס , פיתגורס, היפוקרטס, תיאתטוס, אדוקסוס ומדענים אחרים שקדמו לו. הוא אירגן את הידע, שיכלל את התיאורמות ונתן הוכחות קפדניות להנחות שהועלו במאגר. על חייו הפרטיים של אוקלידס אין יודעים דבר. הוא מתואר כאיש צנוע, נדיב, נעים הליכות, יסודי מאוד בכתביו ובעבודתו המדעית וחוקר מן הסוג המשובח, שבוחן גם את המובן - כביכול - מאליו.

תיווך המידע והעברתו לדורות הבאים ברמת ההיסטוריונים והמדענים היה כאין וכאפס לעומת שימורו באמצעות המתווכים הפשוטים - לכאורה - של חומרי הכתיבה.

הפפירוס נכנס לשימוש ביוון בסביבות שנת 450 לפנה"ס. לפני התיעוד הכתוב, המידע עבר במסורת האורלית. העותק הראשון של היסודות - כך משערים - נכתב על יריעה של פפירוס באורך של עשרה מטרים. היריעות האלה היו רגישות ביותר ונקרעו לאחר עיון חוזר ונשנה בהן. גלילי הפפירוס נהרסו גם ללא קריאה בהם, בשל נזקי מזג האוויר. כדי לשמר את הידע היה הכרח להעתיק לעתים קרובות את הספר. מכיוון שזאת הייתה משימה מורכבת, רק ספרים בעלי חשיבות מיוחדת זכו בפריבילגיה זו.

המומחים סבורים ש"היסודות" הוא ספר המתמטיקה הקדום ביותר שנשמר משום שהוא הוכר עוד בזמנו כיצירת מופת, ובהשוואה אליו, כל הספרים שקדמו לו נחשבו למיושנים ולא היו ראויים להעתקה המייגעת הזאת.

אחדים מכתביו של ארכימדס - תלמידו של אוקלידס - לא זכו לחסד כזה של שימור. חיבוריו של ארכימדס הועתקו על "Pergament paper" קלף עשוי עור עיזים. הקלף היה משטח כתיבה חזק ועמיד, ולכן יקר יותר מהפפירוס ובמקום לזרוק אותו היו מוחקים את הכתוב ורושמים עליו את הטקסט החדש. החיבורים הועתקו בנאמנות בידי הלבלרים בקונסטנטינופול, אולם לאחר פלישת מסע הצלב הרביעי ובזיזת העיר, הקלפים היקרים התפזרו ונפלו לידיים של אנשים שלא ידעו לזהות את האוצר שגלום בהם. כתבי ארכימדס נמחקו והקלף הפך לספר תפילות.

הפלימפססט של ארכימדס - המקור היחיד לחיבוריו "על גופים צפים", "השיטה" ו"וסטמכיון" התגלגל כספר תפילות רגיל לספריית כתבי היד של הפטריארך היווני בירושלים. המלומד שקטלג את ספריית הפטריארך הבחין במקרה שמתחת למילות התפילה הנוצרית מבצבצות מעין צורות גיאומטריות מוזרות. הדבר הגיע לאוזניו של המומחה העולמי לכתבי ארכימדס שבחן את הפלימפססט ואישר את אמיתות התגלית. הפרשה העקלקלה, המיסתורית והשערורייתית עומדת להסתיים כאשר צוות מדענים מאוניברסיטת סטנפורד בקליפורניה יחשוף - בעזרת טכנולוגיות חדשות - את הטקסט המקורי החבוי מתחת לשתי שכבות של תפילות.

המהדורה המודפסת הראשונה של "היסודות" הופיעה בוונציה בשנת 1482 כספר המתמטיקה הראשון שזכה להדפסה. מאז ועד היום יצאו לאור יותר מאלף מהדורות של "היסודות".

מאז חיבורה ועד היום הגיאומטריה האוקלידית השפיעה רבות על התפתחות המדע והיא היוותה אבן יסוד לעבודותיהם של גדולי היוצרים קופרניקוס, קפלר, גליליאו, ניוטון ורבים אחרים.

במאה ה-19 עלתה גיאומטריה חדשה ה"לא-אוקלידית" שסיפור היווצרותה יכול לרתק גם את הקורא שאינו מצוי ברזי מדעי הטבע.

החוליה החלשה בגיאומטריה האוקלידית הייתה, אפילו בעיני יוצרה, הנחת היסוד החמישית, המכונה הנחת המקביליות. "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון". מהנחה זו נגזרו אקסיומות המקביליות והמשפט שסכום הזוויות הפנימיות במשולש הוא 180 מעלות.

במשך אלפיים שנה נעשו מאמצים כבירים מצד גדולי המדענים להוכיח - ללא הצלחה - את ההנחה החמישית על יסוד ארבע ההנחות שקודמות לה.

פריצת הדרך התרחשה בזכות שלושה מדענים שהגיעו - כנראה ללא קשר ביניהם - לפתרון מפתיע בפשטותו. Carl Friedrich Gauss המתמטיקאי הגרמני החל לחקור את החידה בהיותו בן-15. לאחר עשרים שניםשל עיון עקרבסוגייה, על סף ייאוש הוא כתב: "בתיאוריה של המקביליות לא התקדמנו יותר מאוקלידס עצמו. זהו אחד הצדדים המבישים של המתמטיקה." 25 שנים לאחר שהוא החל בניסיון להוכיח את ההנחה הוא הגיע למסקנה שהיא עצמאית ולא קשורה בארבע ההנחות הקודמות. גאוס החליט לשנות כיוון והחל לבנות דגם של גיאומטריה שבו "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר יותר מישר אחד שמקביל לישר הנתון". מחשש שמסקנתו המפתיעה תעורר ביקורת קשה בקרב קהיליית המדענים הוא לא פירסם ושמר בסוד את רעיונו המהפכני. רק לידידיו הנאמנים ביותר הוא כתב: "ההנחה שסכום שלוש הזוויות של משולש קטן יותר מ-180 מעלות מובילה לגיאומטריה מוזרה שונה מאוד מזו המוכרת לנו אך עקבית שבעזרתה ניתן לפתור כמעט כל בעיה."

המתמטיקאי ההונגרי Janos Bolyai החל לעיין בהוכחת ההנחה החמישית לאחר שאביו, אף הוא מתמטיקאי, הזהיר אותו מלעסוק, ולו חצי שעה, בבעיה. אביו של בויאי חיפש דרכים להחליף את ההנחה החמישית באקסיומה אחרת שניתן להוכיח על יסוד ארבעת קודמותיה. לאחר מחקר של שנה בויאי הבן הגיע למסקנה דומה לזו של גאוס והחל לבנות גם הוא גיאומטריה חדשה. לאביו הוא כתב גיליתי דברים מופלאים כל כך שאני מוכה תדהמה. יצרתי -יש מאין - עולם חדש מוזר..." כאשר הוא השלים את בניית הגיאומטריה החדשה, מאמרו צורף לפירסום עבודתו של אביו. אביו של בויאי שלח את המאמר לידידו, גאוס. המתמטיקאי הגרמני החמיא לתיאוריה החדשה וראה בה עבודה של גאון מדרגה ראשונה.

"להלל את עבודת בנך - כתב גאוס לאביו של בויאי - זה כמו להלל את עצמי משום שהיא זהה במדויק לרעיונות שהעסיקו אותי בשלושים וחמש השנים האחרונות". הבשורה שגאוס הקדים אותו ביצירת הגיאומטיה החדשה מוטטה את בויאי. הוא פרש מעבודתו כסרן בצבא, בריאותו התדרדרה והוא הסתגר באחוזה כפרית. רחוק מקהיליית המדענים עבודותיו במתמטיקה לא זכו לתגובות מעודדות. ב-1848 מאמרו של המתמטיקאי הרוסי Nikolai Ivanovich Lobachevsky שפורסם עשרים שנה לפני כן על הגיאומטריה הלא-אוקלידית הגיע לידי בויאי. העובדה שמתמטיקאי נוסף הקדים אותו ביצירת גיאומטריה חדשה הסעירה מחדש את בויאי אך הוא גילה אצילות נפש והביע הערכה רבה ליצירת יריבו.

הראשון שפירסם את רעיון הגיאומטריה הלא-אוקלידית הוא רקטור האוניברסיטה של קאזאן ברוסיה, המתמטיקאי Nikolai Lobachevsky. הצאר אלכסנדר הראשון ששלט ברוסיה בין השנים 1825-1801 גילה בשנים האחרונות של שלטונו חשדנות רבה כלפי המדע והמחשבה המודרנית וראה בהם איום על הכנסיה האורטודוקסית. הוא הטיל פיקוח כבד על האוניברסיטאות, שלל את חופש הדיבור ואסר על קיום תאים פוליטיים. לפני מינויו לרקטור, לובצ'בסקי מילא תפקידים רבים באוניברסיטה והצליח - תחת עינו הבולשת של משגיח מטעם הצאר ואיומי הפיטורים - להקים מעבדות, ספריות ולקיים תוכנית לימודים עשירה. ב-1826 הצאר ניקולאי הראשון עלה לשלטון והנהיג משטר סובלני ומעודד השכלה. אדם נאור, לובצ'בסקי הטיף לחזון ההתפתחות ההרמונית של האישיות, הדגיש את החשיבות החברתית החינוך וההשכלה ואת המחוייבות של המדעים והמדענים לחברה ולמדינה. את עבודתו על הגיאומטריה הלא-אוקלידית,"ההיפרבולית" ,הוא פרסם לראשונה בשנת 1829 בכתב עת מקומי. הוא חזר ופרסם את מאמרו בצרפתית, בגרמנית בכתבי עת שונים אולם ההכרה של הקהילייה המדעית ברעיונותיו איחרה לבוא. עשר שנים לאחר מותו וארבעים שנים לאחר פרסום מאמרו תורתו של לובצ'בסקי בדבר "הגיאומטריה ההיפרבולית" החלה להמריא.

בצדה של הגיאומטריה האוקלידית שעדיין ממשיכים ללמדה בבתי-הספר, הופיעו גיאומטריות רבות נוספות, שבהן אכסיומת המקביליות לא מתקיימת. תיאוריות אלהעקביות, ללא סתירות פנימיות ותקפות לחלוטין מבחינה מתמטית.




.


325BC - 265 BC
 Euclid of Alexandria

 











 


 


 








;

 


.
.
ד"ר אילנה מודלינגר מסע בעידן הטכנולוגי
Copyright ©