ליקויי למידה
עמוד הבית על האתר המחברת מפת האתר כתבו לי




יוון

Pythagoras
569 BC - 495 BC


על אף שאמיתות מתמטיות מסוגים שונים הועלו מאז ימי הקדם של מצריים ובבל, רק כאשר הפילוסופים הגדולים של יוון, תלס ממילטוס ופיתגורס מסמוס החלו להחדיר את רעיון ההוכחה המתמטית הונחה אבן הפינה היציבה הראשונה להבנה המתמטית ולמדע עצמו.

Roger Penrose
* * *
המחשבה הפילוסופית היוונית נולדה בעיר מילטוס על חוף הים האגאי. מילטוס הייתה עיר נמל משגשגתועשירה שהייתה במוקד של המפגש בין תרבות יוון, מצריים ומסופוטמיה וגבלה בממלכה עתירת הזהב של >לידיה.

האסכולה המילטית קמה בזכות שלושה אנשים תאלס, ידידו אנכסימנדר ותלמידו אנכסימדס. הפילוסופים הפרה-סוקרטים זכו להערכה גדולה מבני דורם בעיקר בשל יכולתם לפתור בעיות מעשיות כמו ניווט אוניות בלילה, הובלת הצבא אל מעבר לנהר, חישוב המרחק של ספינה מהחוף וקביעה של מועדי עונות השנה.

במאה השישית לפנה"ס העולם ובני האדם נבראו ונוהלו על-ידי חבורה של אלים מאונשים, גחמנים, מסוכסכים ונקמנים.

הפילוסופים של הטבע לקחו על עצמם את האתגר להסביר את העולם באמצעות איסוף שיטתי של עובדות שניתנות להוכחה. תרומתם המכרעת לחשיבה המדעית הייתה שאת תופעות הטבע הסובב יש להסביר במונחים של חומר וחוקים הגיוניים שמשפיעים עליו ולא כגחמה שרירותית של תושבי האולימפוס.

תלס טען שהשמש אינה המרכבה של אפולו כי אם גוש ענק של אש, ומכיוון שהארץ צפה על פני מים, רעידות האדמה לא נגרמות מזעמו של פוסידון - אל הים - כי בשל טלטולים - שסיבתם טרם ידועה - במצע זה של המים. אנכסימנדר העלה את הרעיון שהברקים נוצרים משום שהרוח קורעת את העננים ולא בגלל התפרצות הכעסים של זאוס


* * *
עד הופעת המתמטיקה היוונית, העיסוק בנושא היה תכליתי בלבד, לחישוב שטחי קרקע, נכסים, אוכלוסין, מיסים וכד' גישת היוונים הקדומים אל המתמטיקה היתה שונה והם יצרו אותה לא רק כאמצעי חישוב לצרכי יום יום כי אם בשל ערכה הרוחני, דתי.

המלומד שהרחיק לכת, ראה במתמטיקה בסיס לכל וסגד לה סגידה דתית הוא פיתגורס .

את חסידיו הנאמנים פיתגורס ליכד לכת סגורה, סודית שבה הם יצרו שילוב בין לוגיקה למיסטיקה דתית. הם לא ראו במתמטיקה שפה מופשטת, סמלית לתיאור הטבע כי אם חוקיות הטבועה בטבע


האחווה הפיטגורית הייתה שותפה למסרים אחדים של הבודהיזם. אנשיה האמינו בגילגול נשמות וסלדו מכל רכושנות. בכת התקיים שוויון מלא בין גברים לנשים ומתמטיקאיות רבות הוכשרו בה. אנשי הכת היו צמחונים, העניקו יחס אנושי לעבדים ונהגו לקיים טקסים של זיכוך הנשמה במטרה להגיע לשלב העליון של הטוהר, לפילוסופיה, לאהבת החכמה. בין הפיתגוראים התקיימה ידידות אמיצה, חוסר אנוכיות וקשרים של יושר ומסירות. הם ניהלו אורח חיים קומונלי, קפדני, שכלל לימודי דת, ארוחות משותפות, פעילות גופנית, קריאה, מוסיקה ודקלום שירה לחיזוק הזיכרון.

התורה הפיתגוריאנית השפיעה רבות על ההגות של כל הדורות אך שמו הונצח בעיקר בזכות "משפט פיטגורס" שכל ילד לומד עד היום בשיעורי הגיאומטריה. לפי לוח חימר עם הכיתובית "4 הוא האורך, 5 הוא האלכסון. מהו הרוחב? " שנתגלה, התיאורמה הייתה מוכרת בבבל אלף שנים לפני תקופת פיטגורס. הסינים הכירו את מאפייני המשולש ישר הזוית ב-1100 לפנה"ס והמצרים בנו את הפירמידות לפי חוקים אלה. פיתגורס זכה באבהות על התיאורימה משום שהוא העניק לה הוכחה גיאומטרית אלגנטית ופירסם אותה ברבים.


* * *
המתמטיקה המצרית והבבלית שאלכסנדר הגדול הביא מכיבושיו השתלבה במתמטיקה היוונית והמכלול קיבל את השם 'המתמטיקה ההלניסטית'.

עם ראשית התקופה ההלניסטית - בסוף המאה הרביעית לפני הספירה - התפשטה השפה היוונית והמלומדים בכל חלקי המזרחי של אגן הים התיכון.החלו לכתוב בשפה זו.


ספרו של אוקלידס מאלכסנדריה -"היסודות" - היה עמוד התווך של הגיאומטריה במשך אלפיים שנה. לאחר התנ"ך, "היסודות" הועתק, תורגם, הודפס, פורסם ונלמד יותר מכל ספר אחר בחברה המערבית. על אוקלידס עצמו לא נותרו פרטים רבים.


אוקלידס, המכונה "אבי הגיאומטריה" היה מתמטיקאי יווני שחי ולימד באלכסנדריה שבמצרים. ב-13 הכרכים של ה"היסודות" הוא אסף, אירגן ותיעד את הידע הגיאומטרי; שהיה קיים בזמנו. הספרים מכילים את הנחות היסוד, ההגדרות, חמשת האכסיומות של גיאומטרית המישור שענינן צורות, יחסים, דמיון וחתכים, פרקים על תורת המספרים והמספרים האי-רציונלים וספר המסכם את הידע הקיים על הגיאומריה של המרחב.



יותר ממאה שנים לפני חיבור היסודות של אוקלידס, Hippocrates of Chios מהנדס יווני כתב ספר משלו על יסודות הגיאומטריה. כתביו של היפוקרטס אבדו אך זכרם נשמר והם היו הבסיס לכרכים הראשונים של מאגר המידע של אוקלידס. היפוקרטס הראשון שהעניק פתרונות; גיאומטריים למשוואות ריבועיות. הוא עסק כמו רבים שבאו אחריו בניסיונות "לרבע את המעגל" התחביב המרושע של הגיאומטריה. הוא כמובן לא הצליח לעשות זאת - רק בשנת 1882 הוכח סופית כי הבעיה אינה פתירה -אך בתכסיסיו לקראת הפתרון עלה בידו לרבע ולחשב את השטחים של צורות מעגליות אחדות.

מאה שנים לפני הולדתו של אוקלידס, Theaetetus מאתונה, אסטרונום, פילוסוף ומתמטיקאי מחונן הרים תרומות חשובות למדע ועבודתו הייתה אובדת ללא זכר אילמלא תועדה בכרכים של "היסודות".

תיאתטוס - תלמידו של אפלטון - חקר ויצר את הגיאומטריה של הצורות התלת-ממדיות שקיבלו את השם Platonic solids חמש - ורק חמש - הצורות התלת-ממדיות נידונות בספר XIII ואילו עבודתו בדבר כמויות רציונליות ואי-רציונליות מוצגת בספר ה-X של "היסודות".

המדען החשוב ביותר שעבודתו נשמרה הודות ל"יסודות" של אוקלידס הוא Eudoxus of Cnidus. אדוקסוס - מתמטיקאי, פיזיקאי ואסטרונום יווני - תלמידו של אפלטון, היה גדול המדענים עד ארכימדס. עבודתו של אדוקסוס הניחה את יסודות האלגברה העתידית, הוא יצר שיטה לחישוב שטח המעגל והנפח של חרוטים ופירמידות. התיאוריה של הפרופורציות של אדוקסוס מופיעה בספר ה-V של היסודות בשם "האכסיומה של אדוקסוס".

אוקלידס לא רק שחזר את עבודותיהם של תאלס , פיתגורס, היפוקרטס, תיאתטוס, אדוקסוס ומדענים אחרים שקדמו לו. הוא אירגן את הידע, שיכלל את התיאורמות ונתן הוכחות קפדניות להנחות שהועלו במאגר. על חייו הפרטיים של אוקלידס אין יודעים דבר. הוא מתואר כאיש צנוע, נדיב, נעים הליכות, יסודי מאוד בכתביו ובעבודתו המדעית וחוקר מן הסוג המשובח, שבוחן גם את המובן - כביכול - מאליו.

המהדורה המודפסת הראשונה של "היסודות" הופיעה בוונציה בשנת 1482 כספר המתמטיקה הראשון שזכה להדפסה. מאז ועד היום יצאו לאור יותר מאלף מהדורות של "היסודות".

מאז חיבורה ועד היום הגיאומטריה האוקלידית השפיעה רבות על התפתחות המדע והיא היוותה אבן יסוד לעבודותיהם של גדולי היוצרים קופרניקוס, קפלר, גליליאו, ניוטון ורבים אחרים.


* * *
ארכימדס נולד בסירקוזה, סיציליה, מוקד משגשג של מסחר ומדע, ב-287 לפנה"ס. על ילדותו אין יודעים פרטים רבים. אביו היה מתמטיקאי ואסטרונום והשתייך, כך משערים, לאצולה הסירקוזית. כאשר ארכימדס הצעיר מיצה את הידע המקומי הוא נדד למצריים ללמוד חכמה באלכסנדריה, בבית מדרשו של אוקלידס. לאחר שהשלים את לימודיו  הוא חזר לעיר מולדתו וקנה לו שם של פיזיקאי, מתמטיקאי ומהנדס מבריק.

את חוקי ארכימדס לא כולנו זוכרים אבל את האיש הערום, הרטוב שרץ ברחובות סירקוזה ושואג באושר עילאי Eureka ,Eureka, - מצאתי, מצאתי - לא שכחנו. הסופר הרומי Marcus Vitruvius Pollio מספר לנו את סיפור המעשה. המלך היירו הזמין אליו את צורף החצר, נתן לו גוש זהב וביקש ממנו לעשות לו כתר חדש. כאשר הצורף הביא למלך את הכתר, היירו חשד שהוא רימה אותו והכניס בכתר גם מתכת זולה יותר. המלך פנה אל ארכימדס וביקש ממנו לפתור את התעלומה. פתרון חידת מדידת הנפח עלה בדעתו של ארכימדס למראה המים שגלשו מהאמבט כאשר הוא נכנס לטבול בו בבית המרחץ. כאשר ארכימדס קלט את גודל התגלית הוא פרץ בריצת האמוק הנפלאה שלו. הכתר, כמובן, היה מזוייף.

החוקרים של ימינו - מנפצי פניני העבר - לא מאמינים באמיתות הסיפור. אמנם קיים הבדל בין כמות המים שכתר הזהב יידחה לבין זו שתדחה על ידי הכתר המזוייף אולם הוא מזערי כל כך שארכימדס, בכלים שעמדו אז לרשותו לא היה מסוגל למדוד.

המלחמות הפוניות שהשתוללו בין רומא לקרתגו לכדו ביניהן את סיציליה הקטנה ואילצו את המלך לכרות ברית לסרוגין, עם הצד הלוחם החזק יותר. ב-214 לפנה"ס סיציליה צדדה בצבא קרתגו ומצאה את עצמה תחת מצור כבד של הצבא  הרומי. בזכות המצאותיו הגאוניות מכונות המלחמה של ארכימדס העיר הצליחה להדוף את הכיבוש של חילות הרומאים.

רוב כתביו של ארכימדס נשרפו בדליקות שפקדו את הספרייה של  אלכסנדריה אך המעט שנותר הספיק כדי להעמיד את המתמטיקאי בין גדולי המדע והטכנולוגיה של כל הזמנים. השיגיו בהנדסה, בגיאומטריה, במתמטיקה ובפיזיקה רבים מספור. הוא הניח את יסודות החשבון האינטגרלי, אלפיים שנה לפני ניוטון; ולייבניץ, קבע את "חוק ארכימדס" המציא את "בורג ארכימדס", שינה את פני הגיאומטריה ותרומותיו במכניקה - חוקי המנוף וכוח; הציפה בנוזל תקפים עד עצם היום הזה.

לאחר שנתיים של מצור, חילות רומי פרצו לסירקוזה. ההיסטוריון פלוטארכוס מספר שמרצלוס, מפקד הצבא הרומי העריך מאוד את הגאון מסירקוזה והורה לחייליו לחוס על חייו של המלומד. ארכימדס היה שקוע בחקר הגיאומטריה בשרטוט מעגלים בחול, ולא היה מודע למתרחש סביבו.

חייל רומי - שלא זיהה אותו - התקרב אליו וכאשר המלומד הקשיש העיר לו "אל תקלקל את המעגלים שלי" הוא דקר אותו למוות. מרצלוס הצטער מאוד על מות המלומד וציווה לערוך לו קבורה מכובדת.

על המצבה שלו חרטו - כבקשת ארכימדס - ציור של כדור בתוך גליל, זכר להוכחה הגיאומטרית שהמדען התגאה בה יותר מכל.

* * *
לאחר כיבוש יוון על ידי הרומאים - שלא מצאו ענין בחשיבה המתמטית הטהורה - ולאחר שהנצרות הוכרזה  כדת הרשמית של האימפריה הרומית, נכחדה המתמטיקה היוונית וחשכת ימי הביניים נפרשה על ארצות אירופה.
 .
הפריחה המתמטית ביוון העתיקה. נמשכה עד המאה השלישית לספירה ולאחר מכן עברה לארצות האיסלם, לפרס, סוריה והודו. הידע המתמטי היווני נשמר בזכות תרגומים שנעשו על ידי מדענים של ארצות אלה.   

במאה ה-12 כל הידע המתמטי של ארצות האיסלם ויוון העתיקה הובאו לאירופה על ידי ליאונרדו פיבונאצי איש פיזה.

* * *


ד"ר אילנה מודלינגר
ליקויי למידה
תולדות המספרים
האוניברסיטה העברית
©