ליקויי למידה
עמוד הבית על האתר המחברת מפת האתר כתבו לי



 
הולדת האפס
 
 
 
 
 
 
 














.
בהיסטוריה של הציביליזציה גילוי האפס יבלוט תמיד כאחד ההישגים הבודדים הגדולים של הגזע האנושי טוביאס דנציג ' המספר, שפת המדע'

* * *
תרבויות שינסו מותניים כנגדו, ופילוסופיות קרסו תחת השפעתו, משום שהאפס שונה מכל המספרים האחרים. הוא מאפשר הצצה במשהו שכלל לא ניתן להעלות על הדעת, ובאינסוף.
אפס - ביוגרפיה של רעיון מסוכן צ'רלס זייף

* * *
תפיסת העולם של תרבות יוון העתיקה שעוצבה על ידי פיתגורס, אריסטו, תלמי, שרדה שנים רבות לאחר נפילות האימפריה היוונית. בתמונת עולם זו לא היה מקום לריק, לאינסוף - לאפס.

היעדר האפס במתמטיקה שנוצרה ברוח הפילוסופיה היוונית העתיקה עיכבה במערב - לדעת החוקרים - במשך קרוב לאלפיים שנה את התפתחות המדע, המתמטיקה וההתחדשות.

* * *
באפס גלומים שלושה מושגים שונים. האפס משמש בשיטת המיספור המיקומית סימן למקום ריק, האפס יכול להיות מושג מספרי מופשט המייצג את הריק או את הגודל החסר ובמבט אחר, האפס הוא מספר שלוקח חלק - כמו כל שאר המספרים - בפעולה מתמטית.

יצירת מושג האפס מתפקידו כ'תופס מקום ריק' עד הפיכתו למספר עצמאי בעל תכונות מתעתעות ומחרידות עברה טלטלות תפיסתיות, דתיות ופילוסופיות רבות.

החקלאי ומגדל הצאן הקדומים לא היו זקוקים לאפס
כי הם לא נדרש לספור או לזכור אפס שטחי אדמה מעובדים או אפס עיזים או כבשים.

עם ראשית הופעתו, האפס היה תופס מקום ריק, מעין סימן פיסוק לפיענוח מדוייק של המספר.

סביר להניח ששיטה של מערכת מספרים מיקומית - עימוד לפי יחידות, עשרות, מאות - חייבת להשתמש באפס, כתופס מקום ריק.

ההיסטוריה העתיקה מלמדת שאין הדבר כך. הבבלים ניהלו חישובים מתמטיים, בעזרת מערכת מספרים מיקומית - על בסיס 60 - במשך 1000 שנים מבלי להיזדקק לאפס כתופס מקום.

בני בבל למדו להבין ולהעריך את המספר לפי התוכן הכתוב. רק לקראת שנת 400 לפניה"ס הם התחילו לסמן שתי יתדות כאפס תופס מקום. אך גם לאחר קבלת האפס כתופס מקום ריק הוא הופיע רק בתוך המספר ואף פעם לא בסופו. הבבלים המשיכו להעריך את גודל המספרים לפי התוכן הכתוב.

האפס אינו 'תופס מקום', הוא מספר בעל זכויות שוות לשאר המספרים. מקומו לא נמצא לאחר הספרה 9 - כפי שהוא מופיע על לוח המקשים של המדפסת או על טבלת החיוג של הטלפונים - כי אם לפני הספרה 1. בסידרת המספרים האפס הוא מספר זוגי, שמקומו בין -1 ל+1


* * *
המתמטיקה היוונית הקדומה הייתה בנויה על הגיאומטריה ולכן לא היה בה מקום למספרים שליליים. כאשר בחישוביהם הם קיבלו תוצאות שליליות הם סברו שלתשובה אין כל משמעות. במונחים גיאומטריים החסרת שטח של 8 דונם משטח של 4 דונם היא חסרת כל היגיון.

המתמטיקה ההודית התנערה מהמשמעות הגיאומטרית של המספרים.
למתמטיקאים ההודים לא היתה כל הסתייגות ממספרים שליליים ולכן הם היו הראשונים שגילו את האפס כמספר בעל זכויות שוות לשאר המספרים.

הראשון שהתחיל להתייחס לאפס כמספר הוא המתמטיקאי ההודי בן המאה השביעית ברהמהגופטה.
הוא קבע כללים לחילוק מספרים זה בזה: 'חיובי המחולק בחיובי או שלילי המחולק בשלילי הוא חיובי, חיובי המחולק בשלילי הוא שלילי, שלילי המחולק בחיובי הוא שלילי' וכמו ש 2 - 3 הוא מספר כך גם 2 - 2 הוא מספר.

למרות הפיכתו למספר פעיל בחישובים, האפס, גם אצל ההודים, נתפס כמוזר למדי. אפס המוכפל בכל מספר אחר כאילו בולע אותו וכשמחלקים בו ' כל השדים פורצים החוצה'. ברהמהגופטה שגה בניסיונו לתמרן את האפס. 'אפס המחולק באפס שווה לא כלום' הוא כתב. הטעות תוקנה במאה ה-12 על ידי המתמטיקאי ההודי באשקארה. 'שבר שבו המכנה הוא אפס מכונה כמות אינסופית'

* * *
במאה התשיעית פירסם המתמטיקאי Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi  את עבודתו החשובה ביותר Hisab al-jabr w'al-muqabala - שממנה נגזרה המילה אלגברה - שמתארת את הענף המתמטי של האלגברה. הוא מסביר בכתביו את השיטה העשרונית, הספרות ההודו-ערביות ואת מושג האפס
* * *
רבי אברהם בן מאיר אבן עזרא, מההוגים היהודים הגדולים של ימי הביניים פרסם בחיבורו בשפה העברית 'ספר המספר' את השיטה העשרונית ההודית ואת השימוש בה. במקום הספרות ההודיות אבן עזרא השתמש באותיות העבריות א' עד ט' ואת האפס שהוא כינה 'הגלגל' סימן בעיגול.

* * *
השיטה העשרונית והאפס הובאו למערב אירופה על ידי פיבונאצ'י מתמטיקאי איטלקי בספרו Liber abbaci.'ספר החשבוניה' שראה אור בשנת 1202

These are the nine figures of the Indians: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. With these nine figures, and with this sign 0 which in Arabic is called zephirum, any number can be written.

האפס עדיין אינו מספר כי אם - כפי שפיבונאצ'י מכנה אותו - 'סימן'.

* * *
במורשת המתמטית הגדולה של דקרט - 'מערכת הצירים הקרטזית' שנמצאית בשימוש גם היום, לא ניתן היה להתעלם מהאפס.

באירופה של דקרט, המספרים הערבים היו כבר נחלת הכלל ובמרכז מערכת הצירים המאונכים בנקודת החיתוך של הצירים נמצא האפס.

* * *
במאה ה-17 פותח על ידי המתמטיקאים לייבניץ וניוטון החשבון האינפיניטסימלי שבמרכזו האפס וההופכי לו - האינסוף.

החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עוד ירד אל העם ונכלל בתוכנית הלימודים של בתי הספר.

ההישיגים הבאים של המתמטיקה - ואתם ההתמודדות עם הריק והאינסוף - עלו למגדל השן של המומחים למספרים.

גם אם לא התידדנו, למדנו לחיות עם האפס. הריק והאינסוף - שלא ניתנים להמחשה - עדיין מעוררים בנו תחושת פליאה ואי-נוחות.
* * *
בעית האפס שטרם נפתרה היא היעדר שנת האפס מלוחות השנה. כל לוחות השנה, פרט לזה של המאיה, נוצרו ללא שנת אפס וגורמים לנו למבוכה ולבלבול בספירת הזמן החולף.

* * *


ד"ר אילנה מודלינגר
ליקויי למידה
תולדות המספרים
האוניברסיטה העברית
©